Simplify[eqns13 /. {(Subscript[c, 1|2])->c}]

Solve[((-1+(E^c)+2 c (E^c) (Subscript[V, 12])[c,c])/(2 c))==(Subscript[V, 21])[c,c]&&((-1+(E^c)+2 c (E^c) (Subscript[V, 12])[c,c]-2 c (Subscript[V, 21])[c,c])/c)==0&&(((-1+(E^c)) (-1+(E^c)+2 c (E^c) (Subscript[V, 12])[c,c]-2 c (Subscript[V, 21])[c,c]))/c)==0&&((2 c (E^(c/2)) (Subscript[V, 11])[c,c]-(-1+(E^(c/2))) (-1+(E^(c/2))-2 c (Subscript[V, 21])[c,c]))/(2 c))==(E^c) (Subscript[V, 22])[c,c]&&(Subscript[V, 22])[0,c]==0&&-(((((-1+(E^(c/2))))^2)+2 c (-(E^(c/2))+(E^c)) (Subscript[V, 12])[c,c]-2 c (E^(c/2)) (Subscript[V, 22])[c,c])/(2 c))==(Subscript[V, 11])[c,c]&&(Subscript[V, 11])[c,c]==0&&(Subscript[V, 22])[c,c]==0 ,{(Subscript[V, 11])[c,c], (Subscript[V, 12])[c,c], (Subscript[V, 21])[c,c], (Subscript[V, 22])[c,c]}]

Solve[eqns , {(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])],(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]}][[1]]

Solve[eqns , {(Subscript[V, 11])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 12])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 21])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])], (Subscript[V, 22])[(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 1])]}]